Résumé 115 :
Estimation de paramètres pour des modèles d'équations différentielles via la théorie du contrôle
Clairon, Quentin ; Brunel, Nicolas
Université Evry Val d'Essonne
Les équations différentielles ordinaires sont couramment utilisées pour modéliser des processus biologiques. Elles se présentent sous la forme $\dot{X}=f(t,X,\theta)$ où $X$ représente l'évolution des variables biologiques d'interêt. Ces dernières contiennent un paramètre $\theta$ de grande dimension devant être estimé à partir d'observations bruitées et partielles du système étudié. La définition implicite du modèle à l'échelle de la dynamique et non des observations ainsi que sa grande sensibilité à la valeur de $\theta$ mettent souvent en echec les estimateurs classiques (maximum de vraisemblance, moindres carrés etc...) et justifie la recherche de nouvelles approches. Par ailleurs les méthodes classiques offrent rarement des critères adaptés pour diagnostiquer une possible mauvaise spécification du modèle. Ici nous proposons une relaxation du modèle au niveau de la dynamique en introduisant le nouveau modèle $\dot{X}=f(t,X,\theta)+u(t)$. Cette relaxation nous permet de définir un estimateur minimisant à la fois l'ecart aux observations et au modèle initial. Pour cela nous utiliserons un résultat de la théorie du contrôle, le principe du maximum de Pontryagin, afin de caracteriser la fonction optimale $u$ et de marginaliser le cout dans l'espace de dimension infinie des fonctions $u$. Nous verrons sur des exemples que cette approche produit des estimations plus precises que les estimateurs classiques et que le terme de relaxation permet d'explorer la validité du modèle proposé.