Résumé 33 :

Un theorème de Donsker et de Glivenko-Cantelli pour une classe de processus généralisant le processus empirique
Varron, Davit
Univ. Franche-Comté

Les mesures de probabilité discrètes aléatoires admettent de façon évidente une représentation de la forme $\sum_{i\geq 1} p_i\delta_{X_i}$, où les poids $(p_i)_{i\geq 1}$ et les $(X_i)_{i \geq 1}$ sont aléatoires. En statistique Bayesienne non paramétrique, on considére parfois de tels objets, vérifiant en plus la propriété suivante: conditionnellement aux $p_i$, les $X_i$ sont independantes et identiquement distribuées. C'est par exemple le cas du fameux processus de Dirichlet. Ce type particulier de mesures de probabilité aléatoires constitue une extension intéressante de la mesure empirique. En effet, beaucoup d'outils sont transposables à cet objet plus général, au prix de quelques efforts techniques. Nous montrons, sous des conditions générales classiques de la théorie de processus empirique, un théorème de Glivenko-Cantelli et un théorème de de Donsker pour des suites de mesures de probabilité aléatoires de ce type. En corollaire de ces résultats, dans le cadre de la statistique bayésienne non paramétrique, nous prouvons un théorème de Bernstein-Von Mises pour les lois à postériori du processus du Dirichlet.